문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 에바리스트 갈루아 (문단 편집) == 업적 == 현대 수학의 아주 많은 분야에 걸쳐있는 [[군(대수학)|군론]]의 시작과 [[갈루아 이론|그 무한한 확장]]이 갈루아의 업적이다. 군론이라는 것은 그 범위와 영향이 너무나 커서 위키에서 다룰만한 지식이 아니다. 수학뿐만 아니라 물리학 등 수학으로 기술되는 여러 학문들에도 지대한 영향을 미쳤다. (아래의 내용은 갈루아의 본 업적이라기보다는, 현대수학의 언어로 다시 쓰인 내용을 요약한 것이므로 주의바람. 자세한 내용 및 정확한 정보를 위해선 웬만하면 수학사 서적과 [[대수학]] 교재를 참고.) 현대대수학의 갈루아 이론은, 아주 간단히 말하자면, 방정식과 그 근들을 치환하는 [[군론|군]]을 연관시켰다고 할 수 있다. 예를 들어 방정식 x^^2^^ - 2 = 0 의 근인 √2와 -√2, 유리수로 만들어진 수 집합[* 엄밀하게는 __확장[[체]]__(extension field) ] Q(√2) = {a + b√2 | a,b는 유리수} 에서 √2와 -√2를 서로 바꾸는 치환은 이 집합에 a + b√2 → a - b√2 로 작용한다. 이를 일반화해서, 임의의 n차 다항방정식 f(x) = 0에 대해 f(x) = 0의 근과 유리수로 만들어진 수의 집합을 F라 하고, F→F의 자기동형사상(합과 곱을 보존하는 일대일함수)들의 군을 f의 __갈루아 군__(Galois group)이라 정의하자. 그러면 갈루아 군은 방정식의 근들을 유일한 방식으로 치환하고, 따라서 [[대칭군]] S,,n,, 의 부분군으로 볼 수 있다. 예를 들어서 위의 경우, 즉 f(x)=x^2^ -2 이고 F = Q(√2)인 경우, f의 갈루아 군은 항등함수와 위에서 생각한 '켤레연산'의 두 원소로 이루어져 있고, 이는 근들의 집합 {√2, -√2}의 대칭군과 동형이라고 생각할 수 있다. (하나는 항등치환, 하나는 자리바꿈으로) 갈루아 이론에서 방정식에 대한 결과만을 간추리자면, f(x)=0의 방정식을 (사칙연산과 제곱근호만으로) 풀 수 있다는 것은 f의 갈루아 군이 __가해성__(solvability)이라 불리는 특정 조건을 만족한다는 것과 동치이다.[* 가해성을 정확히 말하자면: 군 G에 대해 1=G,,0,, , G,,1,, , ..., G,,k,, = G 의 열이 있어, G,,i+1,, / G,,i,, 가 가환이다.] 한편 3차와 4차 대칭군 S,,3,, 과 S,,4,, 은 모두 가해군이지만,[* 따라서 3차방정식과 4차방정식을 풀 수 있었던 것이다. 한편으로는 갈루아 이론을 활용해서 카르다노와 페라리의 공식을 유도할 수도 있다.] S,,5,, 는 가해군이 아니다. 따라서 5차 다항식 f의 갈루아 군이 S,,5,, 그 자체가 된다면, 그 방정식은 풀 수 없다. 실제로 실수가 아닌 근이 정확히 2개 존재하는 5차방정식이 이러한 조건을 만족하기 때문에, 일반적으로 5차방정식의 근의 공식은 존재하지 않는다. 사실 갈루아 당시에는 군의 개념조차 없었다. 현대대수학의 추상적 군의 개념은 갈루아의 이론을 바탕으로 해서 세워진 것이기 때문이다. 현대대수학의 어떤 강력한 도구도 없이, 순전히 대칭다항식에 대한 근대적 산술[* 과장해서 말하자면 근과 계수와의 관계 뿐.]만을 써서 이 이론을 전개한 갈루아의 천재성은 엄청나다는 수식도 부족할 정도이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기